Analiza matematyczna dla informatyków 1

Liczba godzin wykładu: ćwiczeń: laboratoriów:

Wymagania przedmiotowe

Sylabus

Wykład 1

1. Wiadomości wstępne i liczby rzeczywiste

· Cele nauczania analizy dla informatyków. · Modele matematyczne i pojęcie funkcji. · Liczby naturalne, całkowite i wymierne potrzeba liczb niewymiernych. · Aksjomaty liczb rzeczywistych i gęstość liczb wymiernych. · Porównanie liczb rzeczywistych i ich arytmetyki z arytmetyką komputerową.

Wykład 2

· Istnienie pierwiastków rzeczywistych i funkcja potęgowa. · Logarytm i inne funkcje elementarne. · Geometryczna interpretacja zbioru liczb rzeczywistych. · Symbole plus i minus nieskończoność.

Wykład 3

2. Liczby zespolone i przestrzenie euklidesowe:

· Definicja liczby zespolonej, działań arytmetycznych, części rzeczywistej i urojonej, jednostki urojonej, liczby sprzężonej. · Interpretacja geometryczna liczb zespolonych. · Postać trygonometryczna i wzór Moivrea. · Struktura liniowa przestrzeni euklidesowej. · Standardowy iloczyn skalarny i norma. · Nierówność Schwarza i odległość w przestrzeni euklidesowej. · Definicja przestrzeni metrycznej i przykłady. · Kula, zbiór otwarty i domknięty.

Wykład 4

3. Punkty skupienia zbioru:

· Pojęcie zbioru zwartego i definicja za pomocą punktów skupienia. · Zwartość kostki i wnioski: charakteryzacja zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej tw. Heinego-Borela, tw. Bolzano- -Weierstrassa. · Lemat Ascoliego i jego znaczenie dla aproksymacji.

4. Ciągi:

· Pojęcie ciągu. · Algorytm bisekcji znajdowania miejsc zerowych funkcji. · Pojęcie ciągu zbieżnego i podstawowe własności granic. · Przykład: granica ciągu · Własności arytmetyczne i porządkowe granic. · Twierdzenie o trzech ciągach i zbieżność ciągów monotonicznych. · Podciągi i ich zbieżność.

Wykład 5

· Ciągi w zbiorach zwartych. · Ciąg Cauchyego i jego podstawowe własności. · Zupełność przestrzeni euklidesowej. · Granica górna i dolna oraz ich własności.

5. Szeregi liczbowe:

· Naturalne przykłady szeregów. · Pojęcie szeregu. · Warunek Cauchyego zbieżności i zbieganie do zera wyrazu ogólnego szeregu. · Własności arytmetyczne zbieżności szeregów. · Szereg geometryczny. · Kryteria zbieżności szeregów: porównawcze, Cauchyego o za- gęszczeniu, Dirichleta i Leibniza. · Szereg o wyrazach nieujemnych.

Wykład 6

· Liczba e jako suma szeregu i jako granica ciągu. · Reprezentacja dziesiętna liczby wymiernej. · Szereg harmoniczny i anharmoniczny. · Szeregi bezwzględnie zbieżne i przestawianie ich wyrazów. · Kryteria ilorazowe Cauchyego i pierwiastkowe dAlemberta zbieżności bezwzględnej szeregów.

Wykład 7

6. Granica i ciągłość funkcji:

· Pojęcie granicy funkcji definicja Cauchyego (otoczeniowa) i Heinego (ciągowa). · Własności arytmetyczne granic. · Granice niewłaściwe i w nieskończoności. · Liczba e jako granica funkcji. · Pojęcie funkcji ciągłej. · Ciągłość funkcji złożonej i własności arytmetyczne. · Ciągłość funkcji elementarnych.

Wykład 8

· Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych: osiąganie kresów i ciągłość funkcji odwrotnej. · Własność Darboux na przedziałach i ścisła monotoniczność bijekcji rzeczywistej. · Jednostajna ciągłość i tw. Cantora. · Funkcje ciągłe na przedziałach otwartych i domkniętych.

Wykład 9

7. Różniczkowanie:

· Pojęcie prędkości. · Pochodna i różniczka. · Ciągłość funkcji różniczkowalnej.

Wykład 10

· Przykłady funkcji nieróżniczkowalnych . · Różniczkowanie funkcji elementarnych. · Własności arytmetyczne pochodnych. · Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej i funkcji odwrotnej. · Styczna do krzywej zadanej parametrycznie.

Wykład 11

· Twierdzenie Fermata. · Twierdzenie Lagrangea o wartości średniej i jego wnioski (funkcje o pochodnej zerowej, funkcje o pochodnej niezmieniającej znaku, warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum lokalnego). · Reguła de lHôpitala.

Wykład 12

· Pochodne wyższych rzędów i pojęcie przyspieszenia. · Przybliżanie lokalne funkcji wielomianami i wzór Taylora z resztą Peano. · Wzór Taylora z resztą Cauchyego i Lagrangea. · Funkcje analityczne i analityczność ex, oraz · Funkcje wypukłe, badanie wypukłości przy pomocy pochodnych. · Badanie przebiegu funkcji.

Wykład 13

· Przybliżone rozwiązywanie równań: metoda stycznych i metoda siecznych.

8. Całka Riemanna:

· Sumy górne i dolne oraz całki górna i dolna. · Definicja funkcji całkowalnej i całki, własności całek. · Całkowalność funkcji ciągłej, monotonicznej, mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości. · Wzór Newtona-Leibniza.

Wykład 14

· Funkcja pierwotna. · Funkcje pierwotne funkcji elementarnych. · Podstawowe metody całkowania (przez części, podstawienie) przykłady na ćwiczeniach. · Metody całkowania całek oznaczonych (przez części, podstawienie) przykłady na ćwiczeniach. · Uwagi o algorytmie całkowania funkcji wymiernych. · Zastosowania całek oznaczonych (długość łuku, pole figury, objętość bryły obrotowej, praca).

Wykład 15

· Powtórzenie i zastosowania.

Cel przedmiotu

Literatura

Podręczniki podstawowe:

[1] A. Sołtysiak, Analiza matematyczna, cz. 1, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 1995.

[2] H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, t.1, cz. 1, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 1993.

[3] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1998. [4] D. Estep, Practical analysis in one variable, Springer, New York 2002.

[5] H.Heuser, Lehrbuch der Analysis, B.G. Teubner, Stuttgart 1986.

[6] R. Plato, Concise Numerical Mathematics, AMS, Providence 2003

[7] E.W. Swokowski, Calculus with analytic geometry, Prindle, Weber, Schmidt, Boston 1979. Zbiory zadań:

[8] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 1994.

[9] B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, t.1, 2 i 3, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t.1) i 1993 (t.2 i 3).

[10] G.N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1975.

[11] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.1 i 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1975.

Nazwa przedmiotu w języku angielskim

Wymagania przedmiotowe (w j. angielskim)

Sylabus (w j. angielskim)

Cel przedmiotu (w j. angielskim)


KategoriaPrzedmiot

Sylabus: Analiza matematyczna dla informatyków 1 (ostatnio edytowane 2011-05-24 10:13:00 przez localhost)